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BSplineSG Projekt

B-Splines für dünne Gitter: Algorithmen und Anwendung auf höherdimensionale Optimierungsprobleme
ProjekttypProjekt
Gefördert durch Juniorprofessurenprogramm des Landes Baden-Württemberg
Beginn 2015/05/01
Ende2018/05/01
Leiter Prof. Dr. rer. nat. Dirk Pflüger
Mitarbeiter Valentin, Julian
Ansprechpartner Pflüger, Dirk
Kooperationspartner Prof. Oliver Röhrle, Universität Stuttgart
Prof. Michael Stingl, FAU Erlangen-Nürnberg
Prof. Raimond Maurer, Goethe-Universität Frankfurt
Kurzbeschreibung
B-Spline-BasisAbbildung: Hierarchische B-Spline-Basis mit modifizierten Basisfunktionen (gestrichelt)

In den letzten Jahren gab es einen bedeutenden Paradigmenwechsel im Bereich wissenschaftlicher Entdeckungen: Die drei etablierten Säulen „Theorie“, „Experiment“ und „Simulation“ wurden durch die vierte Säule „Daten“ ergänzt. Auf dem Gebiet der Simulationstechnik wird die Suche nach besseren Modellen und realistischeren und effizienteren Simulationen durch die Erzeugung und Auswertung von Simulationsdaten bereichert. Die Untersuchung von Simulationsparametern und deren Einfluss auf die Ergebnisse ist eine häufig anzutreffende Quelle solcher Daten und die Suche nach optimalen Konfigurationen führt zu klassischen inversen Problemen, die schon seit Langem im Bereich der Optimierung untersucht werden.

Wenn jede Parameterkombination einen langen Simulationslauf benötigt oder der Optimierungsprozess eine Folge von verschachtelten Simulationen für jeden Schritt auslöst, dann sind klassische Optimierungsansätze meist nicht praktikabel. Außerdem kann schon die schiere Anzahl an Parametern Versuche, Surrogatmodelle in einem Offline-Schritt selbst für sehr moderate Problemgrößen zu konstruieren, unmöglich machen: Der Aufwand wächst exponentiell in der Dimensionalität des Problems; ein Effekt, der in der Literatur als „Fluch der Dimensionalität“ bekannt ist.

Optimierung des SurrogatsAbbildung: Optimierung des B-Spline-Dünngittersurrogats für eine bivariate Zielfunktion

Um die praktikable Dimensionalität des Parameterraums zu vergrößern, schlagen wir vor, fortgeschrittene numerische Diskretisierungstechniken für hochdimensionale Probleme zu verwenden, nämlich dünne Gitter, deren Fähigkeit, mit dem Fluch zurechtzukommen, schon unter Beweis gestellt wurde. Obwohl sie schon großes Interesse in verschiedenen Bereichen auf sich gezogen haben, verhindert bislang die konventionelle Wahl von Basisfunktionen, die stückweise definiert und nicht stetig differenzierbar sind, die effiziente Verwendung von gradientenbasierten Optimierungsverfahren. Dieses Projekt wird den Stand der Forschung signifikant erweitern und die stückweise lineare Standard-Basis zu einer hierarchischen B-Spline-Basis verallgemeinern. Das wird es uns erlauben, gradientenbasierte Optimierungsmethoden zu verwenden, die die Existenz von stetigen ersten oder zweiten Ableitungen ausnutzen, gleichzeitig aber die Anzahl an Parameterkombinationen bei hochdimensionalen oder verschachtelten Simulationen minimal halten. Anwendungen aus der realen Welt werden aus dem Materialdesign, aus der Biomechanik und aus dem Bereich des Autotunings kommen.

Ausgewählte Publikationen

  • Julian Valentin, Dirk Pflüger: Fundamental Splines on Sparse Grids and Their Application to Gradient-Based Optimization. Akzeptiert zur Veröffentlichung in Sparse Grids and Applications – Miami 2016.

Ausgewählte Vorträge